
En una fiesta, todos los asistentes se dieron la mano con todos los demás.
Hubo 66 apretones de manos.
¿Cuántas personas estaban en la fiesta?
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Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).
Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).
Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C, D).
En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números consecutivos: 1 +2 +3 + … + N .
Y puesto que su suma es n (n +1) / 2 , tenemos que resolver la ecuación n (n +1) / 2 = 66 .
Esta es la ecuación de segundo grado n 2 + n = 0 -132 . Despejando n , obtenemos 11 como la respuesta y deducir que había 12 personas en la fiesta.
Dado que 66 es un número relativamente pequeño, también puede resolver este problema con una calculadora de mano. Añadir 1 + 2 + 3 = = + … etc hasta que el total es de 66.
El último número que se ha introducido (11) es n .
A Carl Friedrich Gauss (1777-1855) se le atribuye el encontrar la fórmula para calcular la suma de los primeros n números consecutivos cuando era un estudiante de escuela primaria, a los 8 años. El profesor había pedido a los estudiantes que calcularan la suma ( S ) de los primeros 100 enteros. Para asombro del profesor, Gauss fue capaz de hacerlo muy rápidamente al notar que la suma par a par de los elementos de una progresión aritmética con los mismos elementos de esa serie colocados en orden inverso produce una serie constante, como podemos ver en el siguiente ejemplo.
S = 1 + 2 + 3 + ... + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 1
2S = 101 101 101 + ... + 101 = 100 × 101
S = (100 × 101) / 2 = 5050
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